quadratische Gleichungen

Bei einer quadratischen Gleichung kommt die Variable in der zweiten Potenz vor. Niedriger Potenzen sind erlaubt, höhere Potenzen aber nicht. Beim Lösen einer quadratischen Gleichung werden also Einsetzungen für die Variable (konkrete Zahlen) gesucht, die die Gleichung erfüllen. Diese Zahlen bilden die Lösungsmenge

𝕃

Beispiele:

$x^2=5$
$2x^2-4=0$
$x^2-4x=0$
$\frac{3}{8}x^2+6x=-10$
$2x^2+3x=0$
$0=x^2+2x+1$
$x^2-6x-1=3$
$4x^2+12x=8$
…

Es gibt zwei Möglichkeiten solche Gleichungen zu lösen:

rechnerische Verfahren zur exakten Bestimmung der Lösung
grafische Verfahren zur näherungsweisen Bestimmung der Lösung

Beachte: Eine quadratische Gleichung kann keine Lösung, eine Lösung oder zwei Lösungen haben. Grafische Lösungsverfahren sind zudem nur eine Schätzung und sollten deshalb vermieden werden. Als zusätzliche Kontrolle oder um im Vorfeld den Lösungsbereich einzuschränken sind aber durchaus geeignet. Deshalb werden hier nur rechnerische Verfahren erklärt.

einfache quadratische Gleichungen lösen

Einfache quadratische Gleichungen (sogenannte rein quadratische Gleichungen) bestehen lediglich aus einem quadratischen Glied (

ax²

) und einem reellen Glied (also Zahlen aus dem Bereich der reellen Zahlen

ℝ

). Sie können entweder direkt durch Wurzelziehen oder mit leichten Umformungsschritten gefolgt von Wurzelziehen gelöst werden.

Beispiel 1:

Gegeben ist die Gleichung

x^2=9

. Mit

y=x^2-9

kannst du die Lösung am Graphen der Normalparabel ablesen. Die Punkte A und F führen beim Einsetzen zu einer wahren Aussage. Die Gleichung hat also zwei Lösungen.

$\begin{aligned}x^2&=9\quad\quad|\sqrt{\enspace} \\ x_{1/2}&=\pm{3}\end{aligned}$

$x_1=+3 \quad\quad x_2=-3 \\ 𝕃=\{3, -3\}$

Beispiel 2:

Gegeben ist die Gleichung

x^2-4=0

. Mit

y=x^2-4

kannst du die Lösung am Graphen der Normalparabel ablesen. Die Punkte B und E führen beim Einsetzen zu einer wahren Aussage. Die Gleichung hat also zwei Lösungen.

$\begin{aligned}x^2-4&=0\quad\quad|+4 \\ x^2&=4\quad\quad|\sqrt{\enspace} \\ x_{1/2}&=\pm{2}\end{aligned}$

$x_1=+2 \quad\quad x_2=-2 \\ 𝕃=\{2, -2\}$

Beispiel 3:

Gegeben ist die Gleichung

2x^2+3=5

. Die Gleichung hat also zwei Lösungen.

$\begin{aligned}2x^2+3&=5\quad\quad|-3 \\ 2x^2&=2\quad\quad|:2 \\ x^2&=1\quad\quad|\sqrt{\enspace} \\ x_{1/2}&=\pm{1}\end{aligned}$

$x_1=+1 \quad\quad x_2=-1 \\ 𝕃=\{1, -1\}$

quadratische Gleichungen durch Faktorisieren lösen

Quadratische Gleichungen, die nur aus einem quadratischen Glied (

ax^2

) und einem linearen Glied (

bx

) besteht, können durch Ausklammern von

x

besonders schnell gelöst werden. Die Gleichung „zerfällt“ sozusagen in zwei Faktoren, wobei eine Lösung zumeist

0

ist und die andere Lösung mit leichten Umformungsschritten gefolgt von Wurzelziehen bestimmt wird.

Dabei kommt der Nullproduktsatz zur Anwendung. Er besagt, dass ein Produkt immer dann 0 ist, wenn mindestens einer der jeweiligen Faktoren 0 ist.

Beispiel 1:

Gegeben ist die Gleichung

x^2-x=0

. Zuerst wird

x

ausgeklammert.

$\begin{aligned}x^2+x&=0\quad\quad|\text{x ausklammern} \\ x \cdot (x-1)&=0 \end{aligned}$

Es entstehen zwei Faktoren die nach dem Nullproduktsatz jeweils 0 sein müssen, d. h.:

$\begin{aligned}x_1=0 \quad\quad\quad x-1&=0 \quad\quad|+1 \\ x_2&=1\\ 𝕃=\{0, 1\}\end{aligned}$

Beispiel 2:

Gegeben ist die Gleichung

2x^2+3x=0

. Zuerst wird

x

ausgeklammert.

$\begin{aligned}2x^2+3x&=0\quad\quad|\text{x ausklammern} \\ x \cdot (2x+3)&=0 \end{aligned}$

Es entstehen zwei Faktoren die nach dem Nullproduktsatz jeweils 0 sein müssen, d. h.:

$\begin{aligned}x_1=0 \quad\quad\quad 2x+3&=0 \quad\quad|-3 \\ 2x&=-3 \quad\quad|:2 \\ x_2&=-\frac{3}{2}\\ 𝕃=\{0, -\frac{3}{2}\}\end{aligned}$

quadratische Gleichungen mit der p-q-Formel lösen

Um quadratische Gleichungen mit Hilfe der p-q-Fomel lösen zu können, muss die quadratische Gleichung in der Form

x^2+px+q=0

gegeben sein. Sollte dies nicht der Fall sein, musst du sie vorher erst umformen. Diese Form wird Normalform einer quadratischen Gleichung genannt. Die Parameter p und q sind Zahlen aus dem Bereich der reellen Zahlen

ℝ

Ist die quadratische Gleichung in der Form

x^2+px+q=0

gegeben, kann die Lösungsmenge direkt über die Formel

$x_{1/2}=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{\Bigl(\frac{p}{2}\Bigr)^2-q}$

berechnet werden. Der Wert des Terms unterhalb der Wurzel wird Diskriminante genannt und bestimmt die Anzahl der Lösungen. Es gibt drei Fälle:

$(\frac{p}{2})^2-q<0\quad\Rightarrow\quad$ keine Lösung
$(\frac{p}{2})^2-q=0\quad\Rightarrow\quad$ eine Lösung (sogenannte Doppellösung)
$(\frac{p}{2})^2-q>0\quad\Rightarrow\quad$ zwei Lösungen

Beispiel 1:

Gegeben ist die Gleichung

x^2+2x+1=0

. Zuerst

p=2

und

q=1

ablesen. Einsetzen in die Lösungsformel:

$\begin{aligned}x_{1/2}&=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{\Bigl(\frac{p}{2}\Bigr)^2-q} \\ x_{1/2}&=-\frac{2}{2}\pm\sqrt{\Bigl(\frac{2}{2}\Bigr)^2-1} \\ x_{1/2}&=-1\pm\sqrt{1^2-1} \\ x_{1/2}&=-1\pm\sqrt{0} \\ x_{1/2}&=-1\end{aligned}$

$𝕃=\{-1\}$

Beispiel 2:

Gegeben ist die Gleichung

x^2-6x-1=3

. Zuerst zur Normalform einer quadratischen Gleichung

x^2+px+q=0

umformen.

$\begin{aligned}x^2-6x-1&=3\quad\quad|-3 \\ x^2-6x-4&=0\end{aligned}$

Dann

p=-6

und

q=-4

ablesen und in die Lösungsformel einsetzen. Beachte die Vorzeichen.

$\begin{aligned}x_{1/2}&=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{\Bigl(\frac{p}{2}\Bigr)^2-q} \\ x_{1/2}&=-\frac{-6}{2}\pm\sqrt{\Bigl(\frac{-6}{2}\Bigr)^2-(-4)} \\ x_{1/2}&=3\pm\sqrt{9+4} \\ x_{1/2}&=3\pm\sqrt{13} \\ x_{1}&=3+\sqrt{13}≈6.61 \\ x_{2}&=3-\sqrt{13}≈-0.61\end{aligned}$

$𝕃=\{6.61, -0.61\}$

Beispiel 3:

Gegeben ist die Gleichung

4x^2+12x=8

. Zuerst zur Normalform einer quadratischen Gleichung

x^2+px+q=0

umformen.

$\begin{aligned}4x^2+12x&=8\quad\quad|-8 \\ 4x^2+12x-8&=0\quad\quad|:4 \\ x^2+3x-2&=0\end{aligned}$

Dann

p=3

und

q=-2

ablesen und in die Lösungsformel einsetzen. Beachte die Vorzeichen.

$\begin{aligned}x_{1/2}&=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{\Bigl(\frac{p}{2}\Bigr)^2-q} \\ x_{1/2}&=-\frac{3}{2}\pm\sqrt{\Bigl(\frac{3}{2}\Bigr)^2-(-2)} \\ x_{1/2}&=-\frac{3}{2}\pm\sqrt{\frac{9}{4}+2} \\ x_{1/2}&=-\frac{3}{2}\pm\sqrt{\frac{17}{4}} \\ x_{1}&=-\frac{3}{2}+\sqrt{\frac{17}{4}}≈0.56 \\ x_{2}&=-\frac{3}{2}-\sqrt{\frac{17}{4}}≈-3.56\end{aligned}$

$𝕃=\{0.56, -3.56\}$

quadratische Gleichungen über quadratische Ergänzung lösen

Beliebige quadratische Gleichungen können über die quadratische Ergänzung zur Scheitelpunktform einer quadratischen Funktion umgeformt werden. Dadurch entfällt die Nutzung der p-q-Formel und diese Gleichungen lassen sich durch einfaches Wurzelziehen und Umformen lösen.

quadratische Gleichungen

einfache quadratische Gleichungen lösen

Beispiel 1:

Beispiel 2:

Beispiel 3:

quadratische Gleichungen durch Faktorisieren lösen

Beispiel 1:

Beispiel 2:

quadratische Gleichungen mit der p-q-Formel lösen

Beispiel 1:

Beispiel 2:

Beispiel 3:

quadratische Gleichungen über quadratische Ergänzung lösen

interaktive Übungen

p-q-Formel-Song