Definition

Funk­tio­nen mit der Funk­ti­ons­glei­chung f(x)=ax^2+bx+c wer­den qua­dra­ti­sche Funk­tio­nen genannt. Für a, b und c kannst du jede belie­bi­ge reel­le Zahl ein­set­zen, wobei a aber nicht 0 sein darf. 
Der Graph einer qua­dra­ti­schen Funk­ti­on heißt Para­bel. Ihr Schei­tel­punkt ist ent­we­der der Hoch­punkt oder der Tiefpunkt. 

Je nach­dem wel­chen Wert die Para­me­ter a, b und c haben, ver­än­dert sich der Ver­lauf des Gra­phen. Die fol­gen­de Unter­tei­lung baut sys­te­ma­tisch auf­ein­an­der auf:

  • Nor­mal­pa­ra­bel: f(x)=x^2
  • gestreckte/gestauchte Nor­mal­pa­ra­bel, nach oben/unten geöff­net: f(x)=ax^2
  • ent­lang der y-Ach­se ver­scho­be­ne Para­bel: f(x)=ax^2+c
  • Schei­tel­punkt­form: f(x)=a(x-d)^2+e
  • all­ge­mei­ne Form: f(x)=ax^2+bx+c
Je nach­dem wel­chen Wert die Para­me­ter a, b und c haben, ver­än­dert sich der Ver­lauf des Gra­phen. Die fol­gen­de Unter­tei­lung baut sys­te­ma­tisch auf­ein­an­der auf: 
  • Nor­mal­pa­ra­bel:
    f(x)=x^2
  • gestreckte/gestauchte Nor­mal­pa­ra­bel, nach oben oder nach unten geöff­net:
    f(x)=ax^2
  • auf der y-Ach­se ver­scho­be­ne Nor­mal­pa­ra­bel:
    f(x)=ax^2+c
  • Schei­tel­punkt­form:
    f(x)=a(x-d)^2+e
  • all­ge­mei­ne Form:
    f(x)=ax^2+bx+c

Normalparabel

Die ein­fachs­te Form einer qua­dra­ti­schen Funk­ti­on lau­tet: f(x)=x^2. Sie wird auch Qua­drat­funk­ti­on genannt. Ihr Schei­tel­punkt liegt bei (0|0). Ihr Graph heißt Nor­mal­pa­ra­bel.
Du kennst bereits die Qua­drat­zah­len, also posi­ti­ve, gan­ze Zah­len, die mit sich selbst mul­ti­pli­ziert wer­den, z. B.: 

\begin{aligned}5^2&=5\cdot 5=25 \\ 2^2&=2\cdot 2=4\end{aligned}

Die Qua­drat­funk­ti­on macht genau das Glei­che, nur für belie­bi­ge reel­le Zahlen. 

\begin{aligned}f(0.5)&=0.5^2=0.5\cdot 0.5=0.25 \\ f(-2)&=(-2)^2=(-2)\cdot (-2)=4\end{aligned}

Über eine Wer­te­ta­bel­le kannst du für vie­le ver­schie­de­ne Zah­len die Funk­ti­ons­wer­te berech­nen. Dafür setzt du für x kon­kre­te reel­le Zah­len in die Funk­ti­ons­glei­chung und berech­nest y. Das ent­stan­de­ne Wer­te­paar aus x und y steht stell­ver­tre­tend für einen Punkt P(x|y) des Gra­phen im Koordinatensystem. 
\mathbf{x} \mathbf{y=f(x)=x^2}
-3 (-3)^2=9
-2 (-2)^2=4
-1 (-1)^2=1
-0.5 (-0.5)^2=0.25
0 0^2=0
0.5 (0.5)^2=0.25
1 1^2=1
2 2^2=4
3 3^2=9
Abb.: Nor­mal­pa­ra­bel f(x)=x^2

gestreckte oder gestauchte Normalparabel, nach oben oder nach unten geöffnet

Die qua­dra­ti­sche Funk­ti­on der Form f(x)=ax^2 unter­schei­det sich im Ver­lauf des Gra­phen zur Nor­mal­pa­ra­bel f(x)=x^2. Dafür ist der Para­me­ter a ver­ant­wort­lich, der heißt Streck­fak­tor heißt. Der Schei­tel­punkt liegt aber immer­noch bei (0|0).

Es gibt grund­sätz­lich vier ver­schie­de­ne Mög­lich­kei­ten, den Para­me­ter a zu beset­zen und so den Ver­lauf des Gra­phen zu verändern.

  • a>0 → Para­bel nach oben geöffnet
  • a<0 → Para­bel nach unten geöffnet
  • |a|>1 → Para­bel gestreckt, also enger
  • |a|<1 → Para­bel gestaucht, also weiter
Auch hier hast du natür­lich die Mög­lich­keit, eine Wer­te­ta­bel­le auf­zu­stel­len. Beach­te aber, dass du den Para­me­ter a nicht unge­wollt mit­zu­qua­drierst. Ver­glei­che am Gra­phen der Funk­ti­on j:
\begin{aligned}j(x)&=-0.1x \\ j(2)&=-0.1\cdot 2^2=-0.1\cdot 4=-0.4 \\ j(-3)&=-0.1\cdot (-3)^2=-0.1\cdot 9=-0.9\end{aligned}
Abb.: ver­schie­de­ne Para­beln der Form f(x)=ax^2

entlang der y-Achse verschobene Parabel

Die qua­dra­ti­sche Funk­ti­on der Form f(x)=ax^2+c ist gegen­über dem Gra­phen der qua­dra­ti­schen Funk­ti­on f(x)=ax^2 um den Para­me­ter c längs der y-Ach­se ver­scho­ben. Ihr Schei­tel­punkt liegt auf der y-Ach­se im Punkt (0|c). Für den Para­me­ter a gel­ten wei­ter­hin die Ände­rungs­be­din­gun­gen für gestreckte/gestauchte bzw. nach oben/unten geöff­ne­te Normalparabeln. 
Abb.: Para­beln der Form f(x)ax^2+c

Scheitelpunktform

Die qua­dra­ti­sche Funk­ti­on der Form f(x)=a(x-d)^2+e heißt Schei­tel­punkt­form. Der Schei­tel­punkt die­ser Para­bel liegt bei (+d|e). Du kannst ihn sofort able­sen. Ach­te aber auf den Vor­zei­chen­wech­sel. Bei f(x)=a(x+d)^2+e ist der Schei­tel­punkt (-d|e). Der Para­me­ter a sorgt für die Form­än­de­rung der Parabel. 
Durch Aus­mul­ti­pli­zie­ren der Schei­tel­punkt­form lässt sich die all­ge­mei­ne Form erzeugen. 

\begin{aligned}f(x)&=a(x-d)^2+e \\ &=a(x^2-2dex+d^2)+e \\ &=ax^2-2adex+ad^2+e\quad|2ade=b\quad ad^2+e=c \\ &=ax^2-bx+c\end{aligned}

allgemeine Form

Die all­ge­mei­ne Form einer qua­dra­ti­sche Funk­ti­on lau­tet f(x)=ax^2+bx+c. Der Para­me­ter c bestimmt den y-Ach­sen­ab­schnitt, also die Stel­le, an der der Graph die y-Ach­se schnei­det. Der Para­me­ter a ver­än­dert die Form der Para­bel (nach oben/unten geöff­net bzw. gestreckt/gestaucht).

quadratische Ergänzung

Über die qua­dra­ti­sche Ergän­zung kann die all­ge­mei­ne Form f(x)=ax^2+bx+c zur Schei­tel­punkt­form f(x)=a(x-d)^2+e umge­wan­delt und dann der Schei­tel­punkt abge­le­sen wer­den. Für euch ist nur die redu­zier­te Vari­an­te rele­vant, d. h. es gilt a=1.

Nullstellen

Die Schnitt­punk­te einer Funk­ti­on mit der x-Ach­se wer­den Null­stel­le genannt. Die y-Koor­di­na­te die­ses Punk­tes ist also 0. (Schreib­wei­se: S_x(x_0|0), wobei x_0 die x-Koor­di­na­te des Punk­tes ist, der auf der x-Ach­se liegt). Die not­wen­di­ge Bedin­gung für das Vor­lie­gen einer oder meh­re­rer Null­stel­len lau­tet y=f(x_0)=0.

Bei qua­dra­ti­schen Funk­ti­on gibt es je nach Lage und Form der Para­bel also drei ver­schie­de­ne Mög­lich­kei­ten für die Exis­tenz von Nullstellen.

  • kei­ne Null­stel­le (Schei­tel­punkt ober­halb der x-Ach­se und Para­bel nach oben geöff­net bzw. Schei­tel­punkt unter­halb der x-Ach­se und Para­bel nach unten geöffnet)
  • eine Null­stel­le (Schei­tel­punkt liegt exakt auf der x-Achse)
  • zwei Null­stel­len (Schei­tel­punkt ober­halb der x-Ach­se und Para­bel nach unten geöff­net bzw. Schei­tel­punkt unter­halb der x-Ach­se und Para­bel nach oben geöffnet)
Abb.: Null­stel­len einer qua­dra­ti­schen Funktion

interaktive Übungen

Auf­ga­ben­fuchs
Schlau­kopf
Cor­nel­sen
Geo­ge­bra