quadratische Gleichungen

Bei einer qua­dra­ti­schen Glei­chung kommt die Varia­ble in der zwei­ten Potenz vor. Nied­ri­ger Poten­zen sind erlaubt, höhe­re Poten­zen aber nicht. Beim Lösen einer qua­dra­ti­schen Glei­chung wer­den also Ein­set­zun­gen für die Varia­ble (kon­kre­te Zah­len) gesucht, die die Glei­chung erfül­len. Die­se Zah­len bil­den die Lösungs­men­ge 𝕃.
Beispiele: 
  • x^2=5
  • 2x^2-4=0
  • x^2-4x=0
  • \frac{3}{8}x^2+6x=-10
  • 2x^2+3x=0
  • 0=x^2+2x+1
  • x^2-6x-1=3
  • 4x^2+12x=8

Es gibt zwei Mög­lich­kei­ten sol­che Glei­chun­gen zu lösen:

  • rech­ne­ri­sche Ver­fah­ren zur exak­ten Bestim­mung der Lösung
  • gra­fi­sche Ver­fah­ren zur nähe­rungs­wei­sen Bestim­mung der Lösung
Beach­te: Eine qua­dra­ti­sche Glei­chung kann kei­ne Lösung, eine Lösung oder zwei Lösun­gen haben. Gra­fi­sche Lösungs­ver­fah­ren sind zudem nur eine Schät­zung und soll­ten des­halb ver­mie­den wer­den. Als zusätz­li­che Kon­trol­le oder um im Vor­feld den Lösungs­be­reich ein­zu­schrän­ken sind aber durch­aus geeig­net. Des­halb wer­den hier nur rech­ne­ri­sche Ver­fah­ren erklärt. 

einfache quadratische Gleichungen lösen

Ein­fa­che qua­dra­ti­sche Glei­chun­gen (soge­nann­te rein qua­dra­ti­sche Glei­chun­gen) bestehen ledig­lich aus einem qua­dra­ti­schen Glied (ax²) und einem reel­len Glied (also Zah­len aus dem Bereich der reel­len Zah­len ). Sie kön­nen ent­we­der direkt durch Wur­zel­zie­hen oder mit leich­ten Umfor­mungs­schrit­ten gefolgt von Wur­zel­zie­hen gelöst werden. 
Beispiel 1:
Gege­ben ist die Glei­chung x^2=9. Mit y=x^2-9 kannst du die Lösung am Gra­phen der Nor­mal­pa­ra­bel able­sen. Die Punk­te A und F füh­ren beim Ein­set­zen zu einer wah­ren Aus­sa­ge. Die Glei­chung hat also zwei Lösungen. 

\begin{aligned}x^2&=9\quad\quad|\sqrt{\enspace} \\ x_{1/2}&=\pm{3}\end{aligned}

x_1=+3 \quad\quad x_2=-3 \\ 𝕃=\{3, -3\}

Beispiel 2:
Gege­ben ist die Glei­chung x^2-4=0. Mit y=x^2-4 kannst du die Lösung am Gra­phen der Nor­mal­pa­ra­bel able­sen. Die Punk­te B und E füh­ren beim Ein­set­zen zu einer wah­ren Aus­sa­ge. Die Glei­chung hat also zwei Lösungen. 

\begin{aligned}x^2-4&=0\quad\quad|+4 \\ x^2&=4\quad\quad|\sqrt{\enspace} \\ x_{1/2}&=\pm{2}\end{aligned}

x_1=+2 \quad\quad x_2=-2 \\ 𝕃=\{2, -2\}

Abb.: Nor­mal­pa­ra­bel y=x²
Beispiel 3:
Gege­ben ist die Glei­chung 2x^2+3=5. Die Glei­chung hat also zwei Lösungen. 

\begin{aligned}2x^2+3&=5\quad\quad|-3 \\ 2x^2&=2\quad\quad|:2 \\ x^2&=1\quad\quad|\sqrt{\enspace} \\ x_{1/2}&=\pm{1}\end{aligned}

x_1=+1 \quad\quad x_2=-1 \\ 𝕃=\{1, -1\}

quadratische Gleichungen durch Faktorisieren lösen

Qua­dra­ti­sche Glei­chun­gen, die nur aus einem qua­dra­ti­schen Glied (ax^2) und einem linea­ren Glied (bx) besteht, kön­nen durch Aus­klam­mern von x beson­ders schnell gelöst wer­den. Die Glei­chung „zer­fällt“ sozu­sa­gen in zwei Fak­to­ren, wobei eine Lösung zumeist 0 ist und die ande­re Lösung mit leich­ten Umfor­mungs­schrit­ten gefolgt von Wur­zel­zie­hen bestimmt wird. 
Dabei kommt der Null­pro­dukt­satz zur Anwen­dung. Er besagt, dass ein Pro­dukt immer dann 0 ist, wenn min­des­tens einer der jewei­li­gen Fak­to­ren 0 ist. 
Beispiel 1:
Gege­ben ist die Glei­chung x^2-x=0. Zuerst wird x ausgeklammert. 

\begin{aligned}x^2+x&=0\quad\quad|\text{x aus­klam­mern} \\ x \cdot (x-1)&=0 \end{aligned}

Es ent­ste­hen zwei Fak­to­ren die nach dem Null­pro­dukt­satz jeweils 0 sein müs­sen, d. h.: 

\begin{aligned}x_1=0 \quad\quad\quad x-1&=0 \quad\quad|+1 \\ x_2&=1\\ 𝕃=\{0, 1\}\end{aligned}

Beispiel 2:
Gege­ben ist die Glei­chung 2x^2+3x=0. Zuerst wird x ausgeklammert. 

\begin{aligned}2x^2+3x&=0\quad\quad|\text{x aus­klam­mern} \\ x \cdot (2x+3)&=0 \end{aligned}

Es ent­ste­hen zwei Fak­to­ren die nach dem Null­pro­dukt­satz jeweils 0 sein müs­sen, d. h.: 

\begin{aligned}x_1=0 \quad\quad\quad 2x+3&=0 \quad\quad|-3 \\ 2x&=-3 \quad\quad|:2 \\ x_2&=-\frac{3}{2}\\ 𝕃=\{0, -\frac{3}{2}\}\end{aligned}

quadratische Gleichungen mit der p-q-Formel lösen

Um qua­dra­ti­sche Glei­chun­gen mit Hil­fe der p-q-Fomel lösen zu kön­nen, muss die qua­dra­ti­sche Glei­chung in der Form x^2+px+q=0 gege­ben sein. Soll­te dies nicht der Fall sein, musst du sie vor­her erst umfor­men. Die­se Form wird Nor­mal­form einer qua­dra­ti­schen Glei­chung genannt. Die Para­me­ter p und q sind Zah­len aus dem Bereich der reel­len Zah­len .
Ist die qua­dra­ti­sche Glei­chung in der Form x^2+px+q=0 gege­ben, kann die Lösungs­men­ge direkt über die Formel 

x_{1/2}=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{\Bigl(\frac{p}{2}\Bigr)^2-q}

berech­net wer­den. Der Wert des Terms unter­halb der Wur­zel wird Dis­kri­mi­nan­te genannt und bestimmt die Anzahl der Lösun­gen. Es gibt drei Fälle:

  • (\frac{p}{2})^2-q<0\quad\Rightarrow\quadkei­ne Lösung
  • (\frac{p}{2})^2-q=0\quad\Rightarrow\quadeine Lösung (soge­nann­te Doppellösung)
  • (\frac{p}{2})^2-q>0\quad\Rightarrow\quadzwei Lösun­gen
Beispiel 1:
Gege­ben ist die Glei­chung x^2+2x+1=0. Zuerst p=2 und q=1 able­sen. Ein­set­zen in die Lösungsformel: 

\begin{aligned}x_{1/2}&=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{\Bigl(\frac{p}{2}\Bigr)^2-q} \\ x_{1/2}&=-\frac{2}{2}\pm\sqrt{\Bigl(\frac{2}{2}\Bigr)^2-1} \\ x_{1/2}&=-1\pm\sqrt{1^2-1} \\ x_{1/2}&=-1\pm\sqrt{0} \\ x_{1/2}&=-1\end{aligned}

𝕃=\{-1\}

Beispiel 2:
Gege­ben ist die Glei­chung x^2-6x-1=3. Zuerst zur Nor­mal­form einer qua­dra­ti­schen Glei­chung x^2+px+q=0 umformen. 

\begin{aligned}x^2-6x-1&=3\quad\quad|-3 \\ x^2-6x-4&=0\end{aligned}

Dann p=-6 und q=-4 able­sen und in die Lösungs­for­mel ein­set­zen. Beach­te die Vorzeichen. 

\begin{aligned}x_{1/2}&=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{\Bigl(\frac{p}{2}\Bigr)^2-q} \\ x_{1/2}&=-\frac{-6}{2}\pm\sqrt{\Bigl(\frac{-6}{2}\Bigr)^2-(-4)} \\ x_{1/2}&=3\pm\sqrt{9+4} \\ x_{1/2}&=3\pm\sqrt{13} \\ x_{1}&=3+\sqrt{13}≈6.61 \\ x_{2}&=3-\sqrt{13}≈-0.61\end{aligned}

𝕃=\{6.61, -0.61\}

Beispiel 3:
Gege­ben ist die Glei­chung 4x^2+12x=8. Zuerst zur Nor­mal­form einer qua­dra­ti­schen Glei­chung x^2+px+q=0 umformen. 

\begin{aligned}4x^2+12x&=8\quad\quad|-8 \\ 4x^2+12x-8&=0\quad\quad|:4 \\ x^2+3x-2&=0\end{aligned}

Dann p=3 und q=-2 able­sen und in die Lösungs­for­mel ein­set­zen. Beach­te die Vorzeichen. 

\begin{aligned}x_{1/2}&=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{\Bigl(\frac{p}{2}\Bigr)^2-q} \\ x_{1/2}&=-\frac{3}{2}\pm\sqrt{\Bigl(\frac{3}{2}\Bigr)^2-(-2)} \\ x_{1/2}&=-\frac{3}{2}\pm\sqrt{\frac{9}{4}+2} \\ x_{1/2}&=-\frac{3}{2}\pm\sqrt{\frac{17}{4}} \\ x_{1}&=-\frac{3}{2}+\sqrt{\frac{17}{4}}≈0.56 \\ x_{2}&=-\frac{3}{2}-\sqrt{\frac{17}{4}}≈-3.56\end{aligned}

𝕃=\{0.56, -3.56\}

quadratische Gleichungen über quadratische Ergänzung lösen

Belie­bi­ge qua­dra­ti­sche Glei­chun­gen kön­nen über die qua­dra­ti­sche Ergän­zung zur Schei­tel­punkt­form einer qua­dra­ti­schen Funk­ti­on umge­formt wer­den. Dadurch ent­fällt die Nut­zung der p-q-For­mel und die­se Glei­chun­gen las­sen sich durch ein­fa­ches Wur­zel­zie­hen und Umfor­men lösen. 

interaktive Übungen

Auf­ga­ben­fuchs
Schlau­kopf
Cor­nel­sen

p-q-Formel-Song