Beschriftung

Ein Drei­eck hat, wie der Name schon sagt, drei Ecken, die mit drei Sei­ten ver­bun­den sind. Die Eck­punk­te wer­den mit den Groß­buch­sta­ben A, B, C gegen den Uhr­zei­ger­sinn beschrif­tet, die Sei­ten dage­gen mit den Klein­buch­sta­ben a, b, c. Gegen­über dem Eck­punkt A liegt die Sei­te a, gegen­über dem Eck­punkt B liegt die Sei­te b und gegen­über dem Eck­punkt C liegt die Sei­te c. Der Innen­win­kel im Punkt A ist \alpha, der Innen­win­kel im Punkt B ist \beta und der Innen­win­kel im Punkt C ist γ.
Abb.: voll­stän­dig beschrif­te­tes Dreieck

Dreiecksarten

gleichseitiges Dreieck

alle Sei­ten gleich lang, alle Win­kel gleich groß

rechtwinkliges Dreieck

ein Innen­win­kel 90°

gleichschenkliges Dreieck

zwei Sei­ten gleich lang (drit­te Sei­te bil­det die Basis), zwei Win­kel gleich groß (lie­gen an der Basis an)

allgemeines Dreieck

alle Sei­ten unter­schied­lich lang und alle Win­kel unter­schied­lich groß (alle spitz­wink­lig oder einer stumpfwinklig)

Innenwinkelsumme

In jedem Drei­eck ist die Sum­me aller Innen­win­kel 180°. Es gilt also:

\alpha+\beta+\gamma=180°

Kongruenz und Ähnlichkeit

Sind zwei Din­ge zuein­an­der kon­gru­ent, dann stim­men sie in Grö­ße und Form exakt über­ein. Bei ebe­nen Figu­ren sagt man sie sind deckungs­gleich, kön­nen also pass­ge­nau über­ein­an­der gelegt werden. 
Zwei Din­ge sind zuein­an­der ähn­lich, wenn sie ledig­lich in der Form aber nicht in der Grö­ße übereinstimmen. 

Kongruenzsätze

Bei Drei­ecken gibt es vier Kongruenzsätze: 
  • SSS (Sei­te-Sei­te-Sei­te)
  • SWS (Sei­te-Win­kel-Sei­te)
  • WSW (Win­kel-Sei­te-Win­kel)
  • SsW (Sei­te-Sei­te-Win­kel)
Sind die Vor­aus­set­zun­gen für einen der vier Kon­gru­enz­sät­ze erfüllt, kann das ent­spre­chen­de Drei­eck ein­deu­tig kon­stru­iert wer­den. (Hin­weis: WWW ist ledig­lich ein Ähnlichkeitssatz.) 
SSS
alle drei Sei­ten sind gegeben 
SWS
zwei Sei­ten und der ein­ge­schlos­se­ne Win­kel sind gegeben 
WSW
eine Sei­te und die bei­den an ihr anlie­gen­den Win­kel sind gegeben 
SsW
eine lan­ge Sei­te, eine kur­ze Sei­te und der Win­kel, der der lan­gen Sei­te gegen­über liegt, sind gegeben 

Dreieckskonstruktion

Für die Kon­struk­ti­on benö­tigst du Line­al, Geo­drei­eck und Zir­kel. Zudem sind Kennt­nis­se der Grund­kon­struk­tio­nen (Win­kel­hal­bie­ren­de, Mit­tel­senk­rech­te, Höhe, Win­kel antra­gen, Stre­cke abtra­gen, …) von Vor­teil. Hal­te die Kon­struk­ti­ons­schrit­te genau ein. Län­gen wer­den mit dem Zir­kel abge­tra­gen, nicht mit dem Line­al! Beach­te beim Abtra­gen der Win­kel die Ableseskala! 
Schritt-für-Schritt-Anleitung
1. Fer­ti­ge eine Plan­fi­gur (Skiz­ze) an und beschrif­te sie vollständig.
2. Mar­kie­re gege­be­ne Grö­ßen farbig.
3. Über­le­ge, wel­cher Kon­gru­enz­satz vor­liegt und notie­re ihn, falls nötig.
4. Begin­ne mit der Kon­struk­ti­on einer gege­be­nen Sei­te (bevor­zugt die kur­ze Seite).
5. Ver­voll­stän­di­ge das Drei­eck durch wei­te­re Kon­struk­ti­ons­schrit­te (Stre­cken abtra­gen, Win­kel abtra­gen, Schnitt­punk­te erzeugen, …).
6. Füh­re eine Pro­be durch, indem du dein Drei­eck mit den gege­be­nen Grö­ßen vergleichst.
1. Konstruktion mittels SSS
2. Konstruktion mittels SWS
3. Konstruktion mittels WSW
4. Konstruktion mittels SSW

interaktive Übungen

Ser­lo
Cor­nel­sen
Schlau­kopf
Auf­ga­ben­fuchs