Voraussetzung

Gege­ben ist ein recht­wink­li­ges Drei­eck. Fol­gen­de Begrif­fe musst du wissen: 
  • Die kür­ze­ren Sei­ten wer­den Kathe­ten genannt. Sie lie­gen an dem rech­ten Win­kel an.
  • Die längs­te Sei­te ist die Hypo­te­nu­se. Sie liegt dem rech­ten Win­kel gegenüber.
Mit Hil­fe des Sat­zes des Pytha­go­ras kannst du Aus­sa­gen über die Sei­ten­län­gen bzw. über die Fächen­in­hal­te der Qua­dra­te über den Sei­ten von recht­wink­li­gen Drei­ecken tref­fen. Genau­er gesagt, es gilt: 

\mathbf{\color{#FFCC99}Kathete_{\tiny{1}}^{{\medspace}2}\color{white}+\color{#FFCC99}Kathete_{\tiny{2}}^{{\medspace}2}\color{white}=\color{#99CCF8}Hypotenuse^2}

\scriptsize{\mathbf{\color{#FFCC99}Kathete_{\tiny{1}}^{{\medspace}2}\color{white}+\color{#FFCC99}Kathete_{\tiny{2}}^{{\medspace}2}\color{white}=\color{#99CCF8}Hypotenuse^2}}

Satz des Pythagoras

Bei einem recht­wink­li­gen Drei­eck ist die Sum­me der Flä­chen­in­hal­te der Qua­dra­te über den Kathe­ten genau­so groß wie der Flä­chen­in­halt über der Hypo­te­nu­se. Mit Hil­fe der kon­kre­ten Beschrif­tung des Drei­ecks gilt: 

\mathbf{\color{#FFCC99}a^2\color{white}+\color{#99CC0E}b^2\color{white}=\color{#99CCF8}c^2}

Wich­tig: Über­prü­fe vor­her also immer, ob ein recht­wink­li­ges Drei­eck vor­liegt! Erst wenn dies der Fall ist, darfst du den Satz des Pytha­go­ras anwenden. 

kurz und knapp erklärt

"Schritt für Schritt"-Anleitung

0. Falls nötig, erstel­le eine Skiz­ze und beschrif­te sie voll­stän­dig. Ergän­ze gege­be­ne Grö­ßen und mar­kie­re sie farbig.
1. Stel­le den Satz des Pytha­go­ras mit den Sei­ten­be­schrif­tun­gen für das Drei­eck auf.
2. Set­ze die gege­be­nen Grö­ßen in die Pytha­go­ras-Glei­chung ein. Las­se die Ein­hei­ten der Ein­fach­heit hal­ber weg.
3. Optio­nal: Falls die Kathe­te gesucht ist, stel­le die Glei­chung zuerst nach der gege­be­nen Grö­ße um.
4. Fas­se die Glei­chung soweit wie mög­lich zusam­men. Nut­ze dafür den Taschenrechner.
5. Zie­he auf bei­den Sei­ten der Glei­chung die Wurzel.
6. Run­de das Ergeb­nis sinn­voll und ergän­ze die pas­sen­de Ein­heit. Schrei­be ggf. einen Antwortsatz.

Berechnung der Hypotenuse

Es liegt ein recht­wink­li­ges Drei­eck vor, also gilt: 

\begin{aligned}a^2+b^2&=c^2 \\ 4^2+6^2&=c^2 \\ 16+36&=c^2 \\ 52&=c^2\quad\quad\quad|\sqrt{\enspace} \\ \sqrt{52}&=\sqrt{c^2} \\ \underline{7,21cm}&≈c\end{aligned}

Berechnung einer Kathete

Es liegt ein recht­wink­li­ges Drei­eck vor, also gilt: 

\begin{aligned}s^2+t^2&=r^2\quad\quad\quad|-t^2 \\ s^2&=r^2-t^2 \\ s^2&=8^2-5^2 \\ s^2&=64-25 \\ s^2&=39\quad\quad\quad|\sqrt{\enspace} \\ \sqrt{s^2}&=\sqrt{39} \\ s&≈\underline{6,24cm}\end{aligned}

Pythagoras im Raum

Der Satz des Pytha­go­ras gilt im recht­wink­li­gen Drei­eck, also einer ebe­nen Figur. Durch Mehr­fach­an­wen­dung des Sat­zes des Pytha­go­ras las­sen sich aber auch unbe­kann­te Län­gen in räum­li­chen Figu­ren berech­nen. Das kön­nen z. B. Kör­per­hö­hen oder Kör­per­dia­go­na­len sein. 

Würfel und Quader

Gesucht ist die Län­ge \mathbf{\color{#ff0000}D}, also die Dia­go­na­le im Quader. 

lan­ger Weg: Der Satz des Pytha­go­ras wird zwei­mal hin­ter­ein­an­der angewandt.

  • Berech­ne die Län­ge der Flä­chen­dia­go­na­le \mathbf{\color{#0000ff}d} der Grund­flä­che mit Hil­fe der Sei­ten \mathbf{\color{#cc99ff}a} und \mathbf{\color{#33cccc}b}:

\mathbf{\color{#cc99ff}a^2\color{white}+\color{#33cccc}b^2\color{white}=\color{#0000ff}d^2}

  • Berech­ne dann die Raum­dia­go­na­le \mathbf{\color{#ff0000}D} des Qua­ders mit Hil­fe der Sei­te \mathbf{\color{#ffcc99}c} und der gera­de berech­ne­ten Flä­chen­dia­go­na­le \mathbf{\color{#0000ff}d}:

\mathbf{\color{#ffcc99}c^2\color{white}+\color{#0000ff}d^2\color{white}=\color{#ff0000}D^2}

kur­zer Weg: Die Berech­nung erfolgt direkt über die For­mel aus der Formelsammlung.

  • Set­ze die gege­be­nen Grö­ßen direkt ein und berech­ne das Ergeb­nis ein­fach mit dem Taschenrechner:

\mathbf{\color{#ff0000}D}\color{white}=\sqrt{\mathbf{\color{#cc99ff}a^2}\color{white}+\mathbf{\color{#33cccc}b^2}\color{white}+\mathbf{\color{#ffcc99}c^2}}

Die Berech­nung der Dia­go­na­le \mathbf{\color{#ff0000}D} beim Wür­fel ver­läuft völ­lig ana­log, nur dass alle Sei­ten­län­gen des Wür­fels gleich lang sind.

Qua­der
Wür­fel

Umkehrung des Satzes des Pythagoras

Führt bei einem Drei­eck mit den Sei­ten­län­gen a, b, c die Glei­chung a^2+b^2=c^2 zu einer wah­ren Aus­sa­ge, dann ist das Drei­eck recht­wink­lig mit c als Hypotenuse. 
Tipp: Bestim­me zuerst die Hypo­te­nu­se. Sie ist immer die längs­te der drei gege­be­nen Sei­ten. Stel­le dann den Satz des Pytha­go­ras mit den gege­be­nen Sei­ten­län­gen auf. Der Ein­fach­heit hal­ber kannst du die Ein­hei­ten weglassen. 

Bei­spiel 1: Ist das Drei­eck mit den Sei­ten 12 cm, 5 cm und 13 cm rechtwinklig?

\begin{aligned}12^2+5^2&=13^2 \\ 144+25&=169 \\ 169&=169\end{aligned}

Es ent­steht eine wah­re Aus­sa­ge, d. h. das Drei­eck ist rechtwinklig.

Bei­spiel 2: Ist das Drei­eck mit den Sei­ten 7 cm, 10 cm und 9 cm rechtwinklig?

\begin{aligned}7^2+9^2&=10^2 \\ 49+81&=100 \\ 130&≠100\end{aligned}

Es ent­steht eine fal­sche Aus­sa­ge, d. h. das Drei­eck ist nicht rechtwinklig.

typische Fehler

interaktive Übungen

Auf­ga­ben­fuchs
Schlau­kopf
Cor­nel­sen

Pythagoras-Song