allgemeine Form
Die allgemeine Form einer linearen Funktion lautet y=m \cdot x+n, wobei m und n Parameter aus dem Zahlbereich der reellen Zahlen (ℝ) sind. Sie können dargestellt werden als:
- Graph im Koordinatensystem
- Funktionsgleichung mit einem Funktionsterm
- Wertetabelle
Hinweis: Manchmal wird auch f(x)=mx+n geschrieben. f(x) meint das gleiche wie y, also y=f(x). Auch wird manchmal b für den y-Achsenabschnitt statt n genutzt. Lass dich davon nicht verwirren.
Bestandteile
- x – unabhängige Variable (Argument)
- y – abhängige Variable (Funktionswert)
- m – Steigung
- n – y-Achsenabschnitt (Stelle, an der die Funktion die y-Achse schneidet)
Darstellung im Koordinatensystem
Der Graph einer linearen Funktion beschreibt eine Gerade. Die Parameter m und n verändern den konkreten Verlauf der Gerade im Koordinatensystem. Grundsätzlich gibt es zwei Möglichkeiten, den Funktionsgraphen zu zeichnen:
- zuerst Wertetabelle mit Wertepaaren (x, y) erstellen, Wertepaare als Punkte P(x, y) ins Koordinatensystem übertragen und verbinden
- zuerst den y-Achsenabschnitt n als Punkt P(0, n) im Koordinatensystem markieren und von dort ausgehend über das Steigungsdreieck mittels m den zweiten Punkt markieren und verbinden
Beispiel 1: Wertetabelle für die lineare Funktion y=2x-4
Setzt du in den Funktionsterm 2x-4 konkrete Zahlen für x ein, erhältst du genau einen Funktionswert y. Aus der Kombination von x-Wert und dazugehörigen y-Wert entsteht ein Wertepaar, was man als Punkt P(x|y) im Koordinatensystem eintragen kann. (Hinweis: zwei Punkte genügen für eine Gerade, drei Punkte geben zusätzlich Sicherheit)
| \mathbf{x} | \mathbf{f:y=2x-4} | \textbf{Punkt} |
|---|---|---|
| -1 | 2\cdot(-1)-4=-6 | A(-1|-6) |
| 0 | 2\cdot(0)-4=-0 | B(0|-4) |
| 1 | 2\cdot(1)-4=-2 | |
| 2 | 2\cdot(2)-4=0 | C(2|0) |
| 2.5 | 2\cdot(2.5)-4=1 | D(2.5|1) |
| 3 | 2\cdot(3)-4=2 |
Beispiel 2: y-Achsenabschnitt und Steigungsdreieck
Über den Funktionsterm 2x-4 liest du m=2 und n=-4 ab. Damit kannst du den Graph auch ohne Wertetabelle zeichnen. Beachte die Vorzeichen!
- über n=-4 ergibt sich sofort der Schnittpunkt mit der y-Achse, nämlich (0|n)=(0|-4)
- über m=2=\frac{2}{1} ergibt sich die Längenänderung 1 in x-Richtung und die Höhenänderung 2 in y-Richtung, denn die Steigung m ist definiert als
m=\frac{\text{Höhenänderung}}{\text{Längenänderung}}=\frac{∆y}{∆x}
Hinweis: Ist m positiv steigt die Gerade (gehe die Längenänderung ∆x nach rechts und dann die Höhenänderung ∆y nach oben), ist m negativ fällt die Gerade (gehe die Längenänderung ∆x nach rechts und dann die Höhenänderung ∆y nach unten).
Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen
Jede lineare Funktion der Form y=mx+n, m \neq 0, schneidet die x-Achse und die y-Achse genau einmal.
Schnittpunkte mit der y-Achse
Um den Schnittpunkt einer linearen Funktion mit der y-Achse zu bestimmen, gibt es zwei Möglichkeiten.
- Lies mittels n den y-Achsenabschnitt ab und gibt den Schnittpunkt S_y(0|n) direkt an.
- Setze für x den Wert 0 in den Funktionsterm ein, berechne den y-Wert und gib den Schnittpunkt S_y(0|f(0)) an.
Schnittpunkt mit der x-Achse
Um den Schnittpunkt einer linearen Funktion mit der x-Achse zu bestimmen, musst du die sogenannte Nullstelle berechnen. Das ist die Stelle, an der der Graph, die x-Achse schneidet. An dieser Stelle ist der y-Wert 0, es gilt also y=f(x)=0. Aus dieser notwendigen Bedingung folgt der Ansatz 0=mx_0+n. Löse die entstandene Gleichung nach x auf und du erhältst den Schnittpunkt S_x(x_0|0).
Punktspielereien
Punkte berechnen
Unbekannte Punkte einer gegebenen Funktion bestimmst du am besten über eine Wertetabelle. Einzelne Punkte kannst du auch ohne den zeichnerischen Aufwand einer Wertetabelle berechnen. Setze dazu den gewünschten x-Wert in den Funktionsterm ein und bestimme den y-Wert. Beide zusammen ergeben die Koordinaten des gesuchten Punktes P(x|y).
Punktprobe
Um zu überprüfen, ob ein Punkt Q(x|y) auf einer Geraden liegt, führst du die Punktprobe durch. Setze dafür die x-Koordinate des gegebenen Punktes als x-Wert in den Funktionsterm ein und überprüfe, ob eine wahre Aussage entsteht. Der y-Wert als Ergebnis muss mit der y-Koordinate des gegebenen Punktes Q übereinstimmen. Ist dies der Fall, liegt der Punkt Q auf der Gerade, ist die nicht der Fall liegt, der Punkt Q nicht auf Gerade.
fehlende Koordinate (x oder y) berechnen
Ist von einem gegebenen Punkt eine Koordinate unbekannt und soll der Punkt auf der Gerade liegen, kannst du die fehlende Koordinate berechnen. Es gibt zwei Fälle:
- y-Koordinate unbekannt: Setze den x-Wert in den Funktionsterm ein und berechne den y-Wert
- x-Koordinate unbekannt: Ersetze in der Funktionsgleichung y mit 0 und löse die Gleichung nach x auf.
Schnittpunkt zweier Geraden
Haben zwei lineare Funktionen einen unterschiedlichen Anstieg, schneiden sich ihre beiden Geraden im Koordinatensystem in einem gemeinsamen Schnittpunkt S. Dort stimmen x– und y-Koordinate beider Geraden überein. Dies kann man sich zu nutze machen und beide Funktionsterme gleichsetzen. Die entstandene Gleichung wird nach x aufgelöst und dann der Schnittpunkt durch Einsetzen von x in eine der beiden Funktionsterme bestimmt. Alternativ kannst du auch beide Funktionsgraphen in ein Koordinatensystem zeichnen und den Schnittpunkt ablesen. Das ist aber häufig zu ungenau.
Beispiel:
Gegeben sind zwei lineare Funktion f:y=2x-4 und g:y=-x+8. f und g schneiden sich irgendwo, da ihre Anstiege unterschiedlich sind (nämlich 2 und -1). Wo sich beide Geraden genau schneiden, berechnest du mit folgendem Ansatz: Setze beide Funktionsterme gleich, also f:y=g:y
\begin{aligned}2x-4&=-x+8\quad\quad|+4 \\ 2x&=-x+12\quad\quad|+x \\ 3x&=12\quad\quad|:3 \\ x&=4\end{aligned}
Die x-Koordinate des gemeinsamen Schnittpunktes ist also 4, d. h. S(4|y). Die y-Koordinate berechnest du nun durch Einsetzen von x=4 in eine der beiden Funktionsterme von f oder g. Es kommt die gleiche Lösung heraus. Du kannst die jeweils andere Einsetzung also als Probe nutzen!
Variante 1: Einsetzen von x=4 in f:y=2x-4
\begin{aligned}y&=2 \cdot 4-4 \\ y&=4\end{aligned}
Variante 2: Einsetzen von x=4 in g:y=-x+8
\begin{aligned}y&=-4+8 \\ y&=4\end{aligned}
Die y-Koordinate des gemeinsamen Schnittpunktes ist also 4, d. h. der gemeinsame Schnittpunkt ist S(4|4).
Geraden durch zwei Punkte
Zwei Punkte P_1(x_1|y_1) und P_2(x_2|y_2) reichen aus, um eine Gerade eindeutig zu zeichnen. Ergo lässt sich daraus auch die entsprechende Funktionsgleichung der Form y=mx+n herleiten. Dieser Vorgang wird Rekonstruktion genannt und verläuft wie folgt:
- Bestimme den Anstieg m mit Hilfe der Gleichung m=\frac{\text{Differenz der y-Werte}}{\text{Differenz der x-Werte}}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}.
- Setze m und einen der beiden Punkte (P_1 oder P_2) in die allgemeine Form y=mx+n ein und berechne den y-Achsenabschnitt n.
- Notiere die Funktionsgleichung.
interaktive Übungen
