allgemeine Form

Die all­ge­mei­ne Form einer linea­ren Funk­ti­on lau­tet y=m \cdot x+n, wobei m und n Para­me­ter aus dem Zahl­be­reich der reel­len Zah­len () sind. Sie kön­nen dar­ge­stellt wer­den als: 
  • Graph im Koordinatensystem
  • Funk­ti­ons­glei­chung mit einem Funktionsterm
  • Wer­te­ta­bel­le
Hin­weis: Manch­mal wird auch f(x)=mx+n geschrie­ben. f(x) meint das glei­che wie y, also y=f(x). Auch wird manch­mal b für den y-Ach­sen­ab­schnitt statt n genutzt. Lass dich davon nicht verwirren. 

Bestandteile

  • x – unab­hän­gi­ge Varia­ble (Argu­ment)
  • y – abhän­gi­ge Varia­ble (Funk­ti­ons­wert)
  • m – Steigung
  • ny-Ach­sen­ab­schnitt (Stel­le, an der die Funk­ti­on die y-Ach­se schneidet)
Die Varia­ble y ändert sich,  je nach­dem was als x-Wert in die Funk­ti­on ein­ge­setzt wird. x kann also unab­hän­gig gewählt wer­den und der y-Wert ist dann abhän­gig davon. 

Darstellung im Koordinatensystem

Der Graph einer linea­ren Funk­ti­on beschreibt eine Gera­de. Die Para­me­ter m und n ver­än­dern den kon­kre­ten Ver­lauf der Gera­de im Koor­di­na­ten­sys­tem. Grund­sätz­lich gibt es zwei Mög­lich­kei­ten, den Funk­ti­ons­gra­phen zu zeichnen: 
  • zuerst Wer­te­ta­bel­le mit Wer­te­paa­ren (x, y) erstel­len, Wer­te­paa­re als Punk­te P(x, y) ins Koor­di­na­ten­sys­tem über­tra­gen und verbinden 
  • zuerst den y-Ach­sen­ab­schnitt n als Punkt P(0, n) im Koor­di­na­ten­sys­tem mar­kie­ren und von dort aus­ge­hend über das Stei­gungs­drei­eck mit­tels m den zwei­ten Punkt mar­kie­ren und verbinden
Bei­de Ver­fah­ren füh­ren zur sel­ben Lösung, kön­nen also auch als Pro­be dienen. 
Beispiel 1: Wertetabelle für die lineare Funktion y=2x-4
Setzt du in den Funk­ti­ons­term 2x-4 kon­kre­te Zah­len für x ein, erhältst du genau einen Funk­ti­ons­wert y. Aus der Kom­bi­na­ti­on von x-Wert und dazu­ge­hö­ri­gen y-Wert ent­steht ein Wer­te­paar, was man als Punkt P(x|y) im Koor­di­na­ten­sys­tem ein­tra­gen kann. (Hin­weis: zwei Punk­te genü­gen für eine Gera­de, drei Punk­te geben zusätz­lich Sicherheit) 
\mathbf{x} \mathbf{f:y=2x-4} \textbf{Punkt}
-1 2\cdot(-1)-4=-6 A(-1|-6)
0 2\cdot(0)-4=-0 B(0|-4)
1 2\cdot(1)-4=-2
2 2\cdot(2)-4=0 C(2|0)
2.5 2\cdot(2.5)-4=1 D(2.5|1)
3 2\cdot(3)-4=2
Abb.: Graph der linea­ren Funk­ti­on f:y=2x-4
Beispiel 2: y-Achsenabschnitt und Steigungsdreieck
Über den Funk­ti­ons­term 2x-4 liest du m=2 und n=-4 ab. Damit kannst du den Graph auch ohne Wer­te­ta­bel­le zeich­nen. Beach­te die Vorzeichen! 
  • über n=-4 ergibt sich sofort der Schnitt­punkt mit der y-Ach­se, näm­lich (0|n)=(0|-4)
  • über m=2=\frac{2}{1} ergibt sich die Län­gen­än­de­rung 1 in x-Rich­tung und die Höhen­än­de­rung 2 in y-Rich­tung, denn die Stei­gung m ist defi­niert als

m=\frac{\text{Höhenänderung}}{\text{Längenänderung}}=\frac{∆y}{∆x}

Hin­weis: Ist m posi­tiv steigt die Gera­de (gehe die Län­gen­än­de­rung ∆x nach rechts und dann die Höhen­än­de­rung ∆y nach oben), ist m nega­tiv fällt die Gera­de (gehe die Län­gen­än­de­rung ∆x nach rechts und dann die Höhen­än­de­rung ∆y nach unten). 
Abb.: Graph der linea­ren Funk­ti­on f:y=2x-4

Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen

Jede linea­re Funk­ti­on der Form y=mx+n, m \neq 0, schnei­det die x-Ach­se und die y-Ach­se genau einmal. 
Schnittpunkte mit der y-Achse
Um den Schnitt­punkt einer linea­ren Funk­ti­on mit der y-Ach­se zu bestim­men, gibt es zwei Möglichkeiten. 
  • Lies mit­tels n den y-Ach­sen­ab­schnitt ab und gibt den Schnitt­punkt S_y(0|n) direkt an.
  • Set­ze für x den Wert 0 in den Funk­ti­ons­term ein, berech­ne den y-Wert und gib den Schnitt­punkt S_y(0|f(0)) an.
Schnittpunkt mit der x-Achse
Um den Schnitt­punkt einer linea­ren Funk­ti­on mit der x-Ach­se zu bestim­men, musst du die soge­nann­te Null­stel­le berech­nen. Das ist die Stel­le, an der der Graph, die x-Ach­se schnei­det. An die­ser Stel­le ist der y-Wert 0, es gilt also y=f(x)=0. Aus die­ser not­wen­di­gen Bedin­gung folgt der Ansatz 0=mx_0+n. Löse die ent­stan­de­ne Glei­chung nach x auf und du erhältst den Schnitt­punkt S_x(x_0|0).

Punktspielereien

Punkte berechnen
Unbe­kann­te Punk­te einer gege­be­nen Funk­ti­on bestimmst du am bes­ten über eine Wer­te­ta­bel­le. Ein­zel­ne Punk­te kannst du auch ohne den zeich­ne­ri­schen Auf­wand einer Wer­te­ta­bel­le berech­nen. Set­ze dazu den gewünsch­ten x-Wert in den Funk­ti­ons­term ein und bestim­me den y-Wert. Bei­de zusam­men erge­ben die Koor­di­na­ten des gesuch­ten Punk­tes P(x|y).
Punktprobe
Um zu über­prü­fen, ob ein Punkt Q(x|y) auf einer Gera­den liegt, führst du die Punkt­pro­be durch. Set­ze dafür die x-Koor­di­na­te des gege­be­nen Punk­tes als x-Wert in den Funk­ti­ons­term ein und über­prü­fe, ob eine wah­re Aus­sa­ge ent­steht. Der y-Wert als Ergeb­nis muss mit der y-Koor­di­na­te des gege­be­nen Punk­tes Q über­ein­stim­men. Ist dies der Fall, liegt der Punkt Q auf der Gera­de, ist die nicht der Fall liegt, der Punkt Q nicht auf Gerade. 
fehlende Koordinate (x oder y) berechnen
Ist von einem gege­be­nen Punkt eine Koor­di­na­te unbe­kannt und soll der Punkt auf der Gera­de lie­gen, kannst du die feh­len­de Koor­di­na­te berech­nen. Es gibt zwei Fälle: 
  • y-Koor­di­na­te unbe­kannt: Set­ze den x-Wert in den Funk­ti­ons­term ein und berech­ne den y-Wert
  • x-Koor­di­na­te unbe­kannt: Erset­ze in der Funk­ti­ons­glei­chung y mit 0 und löse die Glei­chung nach x auf.

Schnittpunkt zweier Geraden

Haben zwei linea­re Funk­tio­nen einen unter­schied­li­chen Anstieg, schnei­den sich ihre bei­den Gera­den im Koor­di­na­ten­sys­tem in einem gemein­sa­men Schnitt­punkt S. Dort stim­men x– und y-Koor­di­na­te bei­der Gera­den über­ein. Dies kann man sich zu nut­ze machen und bei­de Funk­ti­ons­ter­me gleich­set­zen. Die ent­stan­de­ne Glei­chung wird nach x auf­ge­löst und dann der Schnitt­punkt durch Ein­set­zen von x in eine der bei­den Funk­ti­ons­ter­me bestimmt. Alter­na­tiv kannst du auch bei­de Funk­ti­ons­gra­phen in ein Koor­di­na­ten­sys­tem zeich­nen und den Schnitt­punkt able­sen. Das ist aber häu­fig zu ungenau. 
Beispiel:
Gege­ben sind zwei linea­re Funk­ti­on f:y=2x-4 und g:y=-x+8. f und g schnei­den sich irgend­wo, da ihre Anstie­ge unter­schied­lich sind (näm­lich 2 und -1). Wo sich bei­de Gera­den genau schnei­den, berech­nest du mit fol­gen­dem Ansatz: Set­ze bei­de Funk­ti­ons­ter­me gleich, also f:y=g:y

\begin{aligned}2x-4&=-x+8\quad\quad|+4 \\ 2x&=-x+12\quad\quad|+x \\ 3x&=12\quad\quad|:3 \\ x&=4\end{aligned}

Die x-Koor­di­na­te des gemein­sa­men Schnitt­punk­tes ist also 4, d. h. S(4|y). Die y-Koor­di­na­te berech­nest du nun durch Ein­set­zen von x=4 in eine der bei­den Funk­ti­ons­ter­me von f oder g. Es kommt die glei­che Lösung her­aus. Du kannst die jeweils ande­re Ein­set­zung also als Pro­be nutzen! 
Vari­an­te 1: Ein­set­zen von x=4 in f:y=2x-4

\begin{aligned}y&=2 \cdot 4-4 \\ y&=4\end{aligned}

Vari­an­te 2: Ein­set­zen von x=4 in g:y=-x+8

\begin{aligned}y&=-4+8 \\ y&=4\end{aligned}

Die y-Koor­di­na­te des gemein­sa­men Schnitt­punk­tes ist also 4, d. h. der gemein­sa­me Schnitt­punkt ist S(4|4).

Geraden durch zwei Punkte

Zwei Punk­te P_1(x_1|y_1) und P_2(x_2|y_2) rei­chen aus, um eine Gera­de ein­deu­tig zu zeich­nen. Ergo lässt sich dar­aus auch die ent­spre­chen­de Funk­ti­ons­glei­chung der Form y=mx+n her­lei­ten. Die­ser Vor­gang wird Rekon­struk­ti­on genannt und ver­läuft wie folgt:

  • Bestim­me den Anstieg m mit Hil­fe der Glei­chung m=\frac{\text{Differenz der y-Werte}}{\text{Differenz der x-Werte}}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}.
  • Set­ze m und einen der bei­den Punk­te (P_1 oder P_2) in die all­ge­mei­ne Form y=mx+n ein und berech­ne den y-Ach­sen­ab­schnitt n.
  • Notie­re die Funktionsgleichung.

interaktive Übungen

Auf­ga­ben­fuchs
Schlau­kopf
Cor­nel­sen
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Geo­Ge­bra (zum Zeich­nen von Funktionen)

Song über die Lineare Funktion