Potenz

Die Potenz ist eine ver­kürz­te Schreib­wei­se für die Mul­ti­pli­ka­ti­on. Sie besteht aus einer Basis und einem Expo­nent. Der Expo­nent gibt dabei an, wie oft die Basis mit sich selbst mul­ti­pli­ziert wird. 
Schreib­wei­se: a^n, wobei a die Basis und n der Expo­nent ist 
Es gilt: 0^0 ist nicht defi­niert, a^0=1, a^1=a und a^{-n}=\frac{1}{a^n}
Beispiele:
  • 3^4=3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3=81
  • (-2)^3=(-2) \cdot (-2) \cdot (-2)=-8
  • \Bigl(\frac{2}{5}\Bigr)^2=\frac{2}{5}\cdot\frac{2}{5}=\frac{4}{25}
Ach­tung: Ach­te immer auf eine kor­rek­te Klam­me­rung der Basis, damit ein­deu­tig ist, was genau mul­ti­pli­ziert wird. 
  • -3^4\neq(-3)^4, denn -3^4=-(3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3)=-81 und (-3)^4=(-3) \cdot (-3) \cdot (-3) \cdot (-3)=81

Zehnerpotenz

Die Zeh­ner­po­tenz dient dazu, sehr gro­ße oder sehr klei­ne Zah­len über­sicht­li­cher zu schrei­ben. Sie hat als Basis immer die 10. Der ganz­zah­li­ge Expo­nent kann sowohl posi­tiv (für sehr gro­ße Zah­len) als auch nega­tiv (für sehr klei­ne Zah­len) sein. 
Schreib­wei­se: 10^n, wobei 10 die Basis und n der Expo­nent ist 
positiver Exponent:
  • 10^3=10 \cdot 10 \cdot 10=1000
  • 10^1=10
  • 10^5=10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10=100000
Esels­brü­cke: Der Expo­nent gibt an, wie­vie­le Nul­len an die 1 ange­hängt wer­den müssen. 
negativer Exponent:
  • 10^{-3}=\frac{1}{10^3}=\frac{1}{10 \cdot 10 \cdot 10}=\frac{1}{1000}=0.001
  • 10^{-1}=\frac{1}{10}=0.1
  • 10^{-5}=\frac{1}{10^5}=\frac{1}{10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10}=\frac{1}{100000}=0.00001
Esels­brü­cke: Der Betrag des Expo­nen­ten gibt an, wie­vie­le Nach­kom­ma­stel­len die aus­ge­schrie­be­ne Zahl hat. 
sehr große Zahlen
Mit­tels Zeh­ner­po­tenz las­sen sich sehr gro­ße Zah­len dar­stel­len. Schwie­rig wird es erst, wenn man sich sol­che Zah­len vor­stel­len oder gar abzäh­len muss. Span­nen­de Bei­spie­le fin­dest du auf der Web­sei­te von Rolf Fra­ed­rich – Gro­ße Zah­len. Dort sind auch die Namen von gro­ßen Zah­len aufgeführt. 
sehr kleine Zahlen
Mit­tels Zeh­ner­po­tenz las­sen sich aber auch sehr klei­ne Zah­len dar­stel­len. Sich klei­ne Din­ge vor­zu­stel­len ist ungleich schwie­ri­ger, weil hier das Auge schnell an sei­ne Gren­zen kommt und zusätz­li­che Maschi­nen not­wen­dig sind. Auf der Web­sei­te von Rolf Fra­ed­rich – Klei­ne Zah­len fin­dest du eine ana­lo­ge Auf­stel­lung zu klei­nen Zahlen. 

Standardschreibweise

Wird eine Zahl zwi­schen 1 und 10 mit einer Zeh­ner­po­tenz mul­ti­pli­ziert, spricht man von der Stan­dard­schreib­wei­se. Ein ande­rer geläu­fi­ger Begriff ist wis­sen­schaft­li­che Schreib­wei­se. Die Stan­dard­schreib­wei­se dient dazu, sehr gro­ße oder sehr klei­ne Zah­len kom­pak­ter und über­sicht­li­cher darzustellen. 
Schreib­wei­se: k \cdot 10^n, für 0<k<10
positiver Exponent:
  • 7.82 \cdot 10^3=7820
  • 1.234 \cdot 10^7=1234000
Esels­brü­cke: Der Expo­nent gibt an, um wie­vie­le Stel­len du das Kom­ma nach rechts ver­schie­ben musst. Ergän­ze vor als Unter­stüt­zung eini­ge Nullen. 
negativer Exponent:
  • 5.76 \cdot 10^{-4}=0.000576
  • 7.4549 \cdot 10^{-9}=0.0000000074549
Esels­brü­cke: Der Betrag des Expo­nen­ten gibt an, um wie­vie­le Stel­len du das Kom­ma nach links ver­schie­ben musst. Ergän­ze vor­her als Unter­stüt­zung ein­fach ein paar Nullen. 

interaktive Übungen

Auf­ga­ben­fuchs (Potenz)
Auf­ga­ben­fuchs (Zeh­ner­po­tenz)
Schlau­kopf
Cor­nel­sen (Zuord­nungs­auf­ga­be)
Mathe­gu­ru (Stan­dard­schreib­wei­se)