Trigonometrie

Tri­go­no­me­trie ist ein Teil­ge­biet der Geo­me­trie. Sie wird z. B. bei der Navi­ga­ti­on für die Ermitt­lung der kon­kre­ten Posi­ti­on eines Objekts ver­wen­det. Für euch besteht die Grund­auf­ga­be dar­in, aus drei gege­be­nen Grö­ßen eines Drei­ecks (Win­kel­grö­ßen und Sei­ten­län­gen) eine ande­re Grö­ße die­ses Drei­ecks zu berech­nen. Als Hilfs­mit­tel die­nen die tri­go­no­me­tri­schen Funk­tio­nen (auch Win­kel­funk­tio­nen genannt) Sinus (sin), Kosi­nus (cos), Tan­gens (tan). Grund­sätz­lich wer­den zwei Her­an­ge­hens­wei­sen unterschieden:

  • Berech­nun­gen am recht­wink­li­gen Dreieck
  • Berech­nun­gen am all­ge­mei­nen Dreieck

1. Berechnungen am rechtwinkligen Dreieck

Im Gegen­satz zum Satz des Pytha­go­ras, bei dem nur Sei­ten­län­gen berech­net wer­den kön­nen, erlaubt die Tri­go­no­me­trie zusätz­lich auch die Berech­nun­gen von Win­kel­grö­ßen eines Drei­ecks. Ähn­lich wie beim Satz des Pytha­go­ras wer­den die Drei­eck­sei­ten nament­lich unterschieden.

  • Hypo­te­nu­se: liegt dem rech­ten Win­kel gegenüber
  • Gegen­ka­the­te: liegt dem betrach­te­ten Win­kel gegenüber
  • Anka­the­te: liegt an dem betrach­te­ten Win­kel an
Mit Hil­fe der Win­kel­funk­tio­nen Sinus, Kosi­nus und Tan­gens las­sen sich nun drei Sei­ten­ver­hält­nis­se aufstellen: 
  • Sinus: \quad\sin{\left(\text{betrachteter Winkel}\right)}=\frac{\text{Gegenkathete des betrach­te­ten Winkels}}{\text{Hypotenuse}}
  • Kosi­nus: \quad\cos{\left(\text{betrachteter Winkel}\right)}=\frac{\text{Ankathete des betrach­te­ten Winkels}}{\text{Hypotenuse}}
  • Tan­gens: \quad\tan{\left(\text{betrachteter Winkel}\right)}=\frac{\text{Gegenkathete des betrach­te­ten Winkels}}{\text{Ankathete des betrach­te­ten Winkels}}
Über­le­ge zuerst also immer, wel­che der Sei­ten Anka­the­te, Gegen­ka­the­te oder Hypo­te­nu­se ist. Je nach­dem was gege­ben ist, ent­schei­det dies über die Wahl der Win­kel­funk­ti­on. Hier ein ein kur­zer Über­blick mit einer Esels­brü­cke als Lernhilfe: 

- Berechnung einer Kathete

  • Gege­ben ist der betrach­te­te Win­kel \alpha=40° und die Hypo­te­nu­se c=8\text{cm}. Gesucht ist die Gegen­ka­the­te a. Wir benut­zen des­halb den Sinus.

\begin{aligned}\sin\left(\alpha\right)&=\frac{a}{c} \\ \sin\left(40°\right)&=\frac{a}{8\text{cm}}\quad|\cdot8\text{cm} \\ \sin\left(40°\right)\cdot 8\text{cm}&=a \\ 5.14\text{cm}&\approx a\end{aligned}

  • Gege­ben ist der betrach­te­te Win­kel \alpha=40° und die Hypo­te­nu­se c=8\text{cm}. Gesucht ist die Anka­the­te b. Wir benut­zen des­halb den Kosi­nus.

\begin{aligned}\cos\left(\alpha\right)&=\frac{b}{c} \\ \cos\left(40°\right)&=\frac{b}{8\text{cm}}\quad|\cdot8\text{cm} \\ \cos\left(40°\right)\cdot 8\text{cm}&=b \\ 6.13\text{cm}&\approx a\end{aligned}

  • Gege­ben ist der betrach­te­te Win­kel \alpha=40° und die Anka­the­te b=5\text{cm}. Gesucht ist die Gegen­ka­the­te a. Wir benut­zen des­halb den Tan­gens.

\begin{aligned}\tan\left(\alpha\right)&=\frac{a}{b} \\ \tan\left(40°\right)&=\frac{a}{5\text{cm}}\quad|\cdot5\text{cm} \\ \tan\left(40°\right)\cdot 5\text{cm}&=a \\ 4.2\text{cm}&\approx a\end{aligned}

Sinus
Kosinus
Tangens

- Berechnung einer Hypotenuse

Gege­ben ist der betrach­te­te Win­kel \alpha=40° und die Anka­the­te b=5\text{cm}. Gesucht ist die Hypo­te­nu­se c. Wir benut­zen des­halb den Kosi­nus.

\begin{aligned}\cos\left(\alpha\right)&=\frac{b}{c} \\ \cos\left(40°\right)&=\frac{5\text{cm}}{c}\quad|\cdot c \\ \cos\left(40°\right)\cdot c&=5\text{cm} \quad|:\cos\left(40°\right) \\ c&=\frac{5\text{cm}}{\cos\left(40°\right)} \\ c&\approx6.53\text{cm} \end{aligned}

- Berechnung von Winkeln

Für die Win­kel­be­rech­nung im recht­wink­li­gen Drei­eck ist es zunächst not­wen­dig, sich über die Umkehr­funk­ti­on von Sinus, Kosi­nus und Tan­gens im Kla­ren zu sein. Über den Taschen­rech­ner kön­nen wir sofort berechnen:

  • \sin\left(50°\right)\approx 0.77
  • \cos\left(60°\right)=0.5
  • \tan\left(30°\right)\approx 0.58

Ist aber z. B. \sin\left(\alpha\right)=0.77 gege­ben, kön­nen wir zwar von oben erra­ten, dass der Win­kel \alpha=50° sein muss. Bes­ser wäre aber die Nut­zung einer Umkehr­funk­ti­on, ähn­lich wie beim Wur­zel­zie­hen als Umkehr­funk­ti­on zum Qua­drie­ren. Für die Win­kel­funk­tio­nen sieht das wie folgt aus:

  • Umkehr­funk­ti­on zum Sinus: \sin^{-1}, auch Arcus­sinus (\mathrm{arcsin} ) genannt
  • Umkehr­funk­ti­on zum Sinus: \cos^{-1}, auch Arcus­ko­si­nus (\mathrm{arccos}) genannt
  • Umkehr­funk­ti­on zum Tan­gens: \tan^{-1}, auch Arcu­stan­gens (\mathrm{arctan}) genannt
Im Taschen­rech­ner musst du die Umkehr­funk­ti­on über die „Shift“-Taste oder die „2nd“-Taste akti­vie­ren. Gib danach den Zah­len­wert ein, drü­cke auf das Gleich­heits­zei­chen und du bekommst den Win­kel in Grad ange­zeigt. Ach­tung: Dein Taschen­rech­ner muss auf den Modus „DEG“ ein­ge­stellt sein. Hier ein Beispiel: 
  • Gege­ben ist die Anka­the­te b=5\text{cm} und die Hypo­te­nu­se c=\text{cm}. Gesucht ist der betrach­te­te Win­kel \alpha. Wir benut­zen des­halb den Kosi­nus.

\begin{aligned}\cos\left(\alpha\right)&=\frac{b}{c} \\ \cos\left(\alpha\right)&=\frac{5\text{cm}}{8\text{cm}}=0.625\quad|\cos^{-1} \\ \alpha&=\cos^{-1}\left(0.625\right) \\ \alpha&\approx 51.32° \\ \end{aligned}

Tipps

Tipp 1: Berech­nest du Sei­ten­län­gen kannst du als Pro­be die Umkeh­rung des Sat­zes des Pytha­go­ras ver­wen­den. Ent­steht eine wah­re Aus­sa­ge, ist das Drei­eck auch recht­wink­lig. Bei zwei bekann­ten Sei­ten, kannst du die drit­te unbe­kann­te Sei­te auch über den Satz des Pytha­go­ras berechnen. 
Tipp 2: Berech­nest du Win­kel­grö­ßen kannst du als Pro­be die Innen­win­kel­sum­me ver­wen­den. Sie besagt, dass die Sum­me aller Innen­win­kel in einem Drei­eck 180° erge­ben. Bei zwei bekann­ten Win­keln, kannst du den drit­ten unbe­kann­ten Win­kel auch über die Innen­win­kel­sum­me berechnen. 
Tipp 3: Soll­te bei den zwei gege­be­nen Grö­ßen (eine Sei­te und ein Win­kel) kei­ne Win­kel­funk­ti­on pas­sen, kannst du Mit­hil­fe der Innen­win­kel­sum­me den feh­len­den drit­ten Win­kel berech­nen. Ent­schei­de dann erneut, wel­che Win­kel­funk­ti­on passt. 

2. Berechnungen am allgemeinen Dreieck

Zur Berech­nung von unbe­kann­ten Grö­ßen am belie­bi­gen Drei­eck darfst du Sinus, Kosi­nus und Tan­gens nur benut­zen, wenn du die Höhe in das Drei­eck ein­zeich­nest. Es ent­ste­hen zwei recht­wink­li­ge Drei­ecke, in denen die Win­kel­funk­tio­nen Gül­tig­keit besit­zen. Damit las­sen sich zwei neue Gesetz­mä­ßig­kei­ten her­lei­ten, um unbe­kann­te Sei­ten und Win­kel in belie­bi­gen Drei­ecken zu berechnen.

  • Sinus­satz
  • Kosi­nus­satz

Sinussatz

In jedem belie­bi­gen Drei­eck ∆ABC gilt: \frac{\sin\left(\alpha\right)}{a}=\frac{\sin\left(\beta\right)}{b}=\frac{\sin\left(\gamma\right)}{c}

- Seite berechnen

- Winkel berechnen

Kosinussatz

In jedem belie­bi­gen Drei­eck ∆ABC gilt:
  • a^2=b^2+c^2-2bc\cos\left(\alpha\right)
  • b^2=a^2+c^2-2bc\cos\left(\beta\right)
  • c^2=a^2+b^2-2bc\cos\left(\gamma\right)

interaktive Übungen

Auf­ga­ben­fuchs
Schlau­kopf
Mathe­trai­ner

Sinus- und Kosinussatz als Lied